기저, 일반해, 초기값

이계  선형미분방정식의 초기값이 주어졌을 때 (해의 존재성과 유일성)

$$b_1\left(x\right),\ b_2\left(x\right),\ R\left(x\right)가\ x_0을\ 포함하는\ 구간\ I에서\ 연속이면\ 초기값\ 문제$$
$$y^{''}+b_1\left(x\right)y^{'}+b_2\left(x\right)y=R\left(x\right)$$
$$y\left(x_0\right)=K_1,\ \ y^{\ '}\left(x_0\right)=K_2$$
는 구간 I에서 오직 한개의 해를 갖는다.

 

이는 일계미분방정식의 초기값 문제에서 해의 개수가 일정하지 않았던 것과 사뭇 차이를 보인다.

일계미분방정식에서는 초기값 문제 $$y^{'}=f\left(x,\ \ y\right),\ \ \ y\left(x_0\right)=y_0$$의 함수가 적당한 직사각형 영역 

$$R=\left\{\left(x,\ \ y\right)\mid \left|{x-x_0}<a,\ \left|{y-y_0}\right|<b\right|\right\}$$의 모든 점 (x, y)에서 연속이고 적당한 양의 실수 K가 존재하여 

$$\left|{f\left(x,\ y\right)}\right|\le K$$이라 하면 함수는 적어도 하나의 해를 가졌다.

 

또한 $$f\left(x,\ \ y\right)와\ \frac{\partial f}{\partial y}$$가 영역 R의 모든 점에서 연속이고 적당한 양의 실수 K와 M이 존재하여 

$$\left(a\right)\ \left|{f\left(x,\ \ y\right)}\right|\le K,\ \ \left(b\right)\ \left|{\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,\ \ y\right)}\right|\le M$$이라 하면 초기값 문제는 유일한 해 $$y\left(x\right)$$를 가진다.

 

일계미분방정식의 존재와 유일성 정리는 모두 부분구간 $$\left|{x-x_0}\right|<\alpha $$에서 정의된다. 이때는 알파는 a와 b/K 중 작은 값이다.

 

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위의 이계 선형미분방정식 초기값 문제에서 $$R\left(x\right)=0$$인 동차선형미분방정식일 때 동차선형미분방정식의 일반해는 

$$y=c_1y_1\left(x\right)+c_2y_2\left(x\right)$$이다. 여기서 일배는 함수 y_1(x)와 y_2(x)가 일차독립인 해를 의미한다.

 

그렇다면 선형방정식에서 어떤한 조건으로 해가 일차독립임을 확인할 수 있을까?

$$c_1y_1\left(x\right)+c_2y_2\left(x\right)=0$$일 때, $$c_1=c_2=0$$이면 함수 y_1과 y_2를 일차독립이라 한다. 일차독립이 아니면 일차종속이라 부른다.

즉 일차독립이기 위해서 $$y_1\left(x\right)=\alpha y_2\left(x\right)\ \ \left(\alpha 는\ 상수\right)$$이 되어선 안된다.

 

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개구간 I에서 일차독립인지 확인하기 더 쉬운 방법이 있다. 위의 방식은 일반해를 구하는 과정을 거쳐야 해의 독립성을 파악할 수 있었지만 론스키안이라는 행렬식을 사용하면 동차선형방정식 에서 해의 독립성을 더 빠르게 파악할 수 있다.

$$y^{''}+b_1\left(x\right)y^{'}+b_2\left(x\right)y=0$$

꼴의 동차선형방정식에서 행렬식 

$$W\left[{y_1,\ y_2}\right]\left(x_0\right)=\begin{vmatrix}y_1\left(x\right)&y_2\left(x\right)\\y_1^{'}\left(x_0\right)&y_2^{'}\left(x_0\right)\end{vmatrix}=0$$

은 일차종속이기 위한 필요충분조건이다. 즉 행렬식이 0이 아닐 경우 동차선형방정식의 해는 일차독립이다.

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구간 I에서 이계 동차선형미분방정식의 일차독립인 두 해 $$y_1\left(x\right)와\ y_2\left(x\right)$$를 기저(basis)라 한다.
또한 
$$\left\{{y_1,\ \ y_2}\right\}$$를 기본해집합이라 한다.

위의 정리를 통해 이계 동차선형미분방정식의 일반해가 $$y=c_1y_1\left(x\right)+c_2y_2\left(x\right)$$임을 알 수 있다.